Я уже писал про пример 6:2(1+2) но всё равно находятся математики, которые утверждают, что я всё вру. Однако мои оппоненты либо не приводят весомых доказательств в виде математических правил, а ссылаются на ошибочные извлечения из задачников, либо вообще переходят на оскорбления. Ни на один мой аргумент не дали опровержения. В статье я раскрою разные подходы к решению этих задач, и укажу на изъяны данных подходов. Отмечу, что одно из моих образований: юрист.
Итак, пример 6:2(1+2) у нас плавно превратился в 2a:2a как аргумент, мол ни у кого не возникает вопросов, что 2a:2a равно 1, однако возникает, но это позже.
Есть 3 подхода в решении этой задачи.
1. Знак умножения не имеет приоритета над делением никогда.
Тут всё просто.
6:2(1+2) = 6:2×(1+2) =9
2a:2a = 2×a:2×a = 2×a×2⁻¹×a = a²
Применяем следующие правила данные в учебниках по которым учатся школьники, например мне пристали правила
которым я могу убрать знак × (умножить) без исключений, что я собственно и сделал, то есть можно как убрать так и обратно поставить, это следует из этого правила.
Далее так же применено правило о порядке действий, тут всё просто: сначала действия в скобках, потом действия второй ступени (деление и умножение по порядку) действия вой ступени (сложение и вычитание). Другого порядка действий не предусмотрено в школьных учебниках.
ну и я применил правило : a/b=a×b⁻¹ оно так же имеется в учебниках по математике, а так же в ГОСТ Р 545212011
Просто и понятно, при таком подходе легко выполняется требования того же ГОСТ Р 545212011
При таком подходе к решению этих задач ошибка когда знак умножения опущен исключена, не надо запоминать никаких дополнительных исключений, достаточно руководствоваться только правилами написанными в школьных учебниках по которым идет обучение.
Юридический аспект этого подхода мы рассмотрим ниже.
2. Знак умножения имеет приоритет над делением всегда.
Такая позиция изложена в учебнике Шустеф М. Ф. Методика преподавания алгебры. Курс лекций. Минск, 1967 г. на странице 43
Как видно по этому учебнику знак умножения, без разницы опущенный или нет имеет приоритет над делением, таким образом примеры
6:2(1+2) = 6:2×(1+2) = 1
2a:2a = 2×a:2×a = 1
однако как Вы можете видеть, из второго примера исчезло преобразование a/b=a×b⁻¹ потому как если мы преобразуем по этому правилу, то получиться
2a:2a = 2×a:2×a = 2×a×2⁻¹×a
и порядок действий измениться. Ни в одном учебнике нет исключений когда нельзя преобразовать a/b=a×b⁻¹ , более того ГОСТ Р 545212011 не делает исключений и говорит, что деление это умножение на делитель в минус первой степени. По этому в учебнике Шустеф М. Ф. Методика преподавания алгебры. Курс лекций. Минск, 1967 г. на странице 43 содержится ошибка и умножение не может иметь приоритет.
3. Опущенный знак умножения имеет приоритет над делением и написанным знаком умножения.
Сторонники этого подхода ссылаются на учебник Шустефа, однако они ошибаются, как я выше написал в учебнике Шустефа умножение всегда имеет приоритет над делением. Третий подход на наших примерах будет выглядеть так:
6:2(1+2) ≠ 6:2×(1+2)
2a:2a ≠ 2×a:2×a
Сторонники этого метода не знают откуда он пошел (почти все), я нашел таки источник в Советских учебниках, об исключениях говориться в учебнике Репьев В. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. — 1967
Репьев указывает, что это просто сложилась такая практика, а не является правилом, и указывает, что некоторые авторы рекомендуют не использовать знак : в этом случае, а рекомендует использовать знак натуральной дроби.
Кстати говоря Репьев тут указывает, что есть исключение из правила порядка для сложения
Однако в приведенном примере не является исключением, а просто применяется правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, и вычитание просто заменяется по правилу: вычитание может быть заменено на сложение с отрицательным числом. По этому никакое это не исключение, а просто применение других правил, не запоминайте это типа исключение, это лишь забивает память.
Что не так с этим подходом и что не хватает?
согласно правилу опущения знака умножения знак умножения можно заменить если перемножаются буквенные множители. Таким образом как пишет Репьев выражение:
a:(b·c·d) = a:(bcd)
это действительно можно и соответствует ГОСТ, по которому знак можно убрать только если не будет ошибки. Проверка будет с помощью обратного действия, обратное действие это одно из правил проверки (математика, 2 класс), то есть проверяем:
a:(bcd) = a:(b·c·d)
всё верно. Теперь возьмем общепринятые, как утверждает Репьев, правила и применим обратные действия по отношению к правилу опущения знака, напомню, знак умножения можно опустить между двумя буквенными множителями, обратным действием будет: знак умножения можно поставить между двумя буквенными множителями
a:bcd = a:b·c·d
И если мы условились, что опущенный знак умножения имеет приоритет над написанным знаком умножения и делением, а знак написанный умножения не имеет приоритета над делением (вообще слово написанный можно не писать, я для ясности написал) то получается, что при убирании знака получиться ошибка, что не допустимо по ГОСТ Р 545212011
теперь давайте применим правило a/b=a×b⁻¹ и правило опускания знака умножения, получим a:b=a×b⁻¹ = ab⁻¹
а теперь вставим в наше выражение: a:bcd = ab⁻¹cd что дает ошибку.
В качестве аргумента правильности этого подхода так же показывают примеры из учебника 8-го класса, например в этом видео https://www.youtube.com/watch?v=PxYuaBhfnJY
Там приводится в пример решения деления одночленов, однако деление одночленов изучаются в 7-м классе, правила можно посмотреть тут.
по этому запись деления одночленов без скобок является ошибочной, и по этому запись 2a:2a не может так быть записана, а должна быть записана так: 2a:(2a) и тогда не возникает вопроса в порядке действий.
Так же в США имеются такие же правила по этому методу, не знаю во всех ли учебниках есть эти правила, но в некоторых точно есть, действительно опущенный знак умножения имеет приоритет над обычным знаком умножения и знаком деления, однако в случае использования деления произведение с опущенным знаком обязательно заключаются в скобки. То есть выражение
6:2(1+2) — записано с ошибкой
6:(2(1+2)) — записано правильно
6:2×(1+2) — записано правильно
2a:2a — записано с ошибкой
2a:(2a) — записано правильно
Есть калькулятор CASIO fx-991DEX который не даст написать с ошибкой и автоматически исправит ошибку в соответствии с американскими правилами, то есть он запись 6:2(1+2) исправит сам на 6:(2(1+2)) и выдаст результат 1 https://www.youtube.com/shorts/Pn5CP1qfvNw
В качестве заключения.
В начале статьи я указал, что являюсь юристом и у этого есть ещё юридическая сторона.
Поскольку мы говорим о школе, то будем ориентироваться не на абстрактное решение задач, а применимо к решению задач в курсе математики школы. У любой школы должен быть учебный план и список учебно-методических комплектов (учебников) которые используются в обучении. Для оценки правильности решения контрольных и итоговых работ руководствоваться необходимо правилами написанными в утвержденных УМК. И не может использоваться как пишет Репьев
Однако нельзя, поскольку в случае решения не по устному сообщению и снижении оценки эта оценка легко оспаривается, более того не соответствует ГОСТу. Кроме того, есть обучающиеся на домашнем обучении проходящие итоговую и промежуточную аттестацию в школе и возникает вопрос как они узнают об этом исключении?